大阪府立大学
2015年 工学域(中期) 第3問
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$a>0$,$b>0$とし,座標平面において,双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を曲線$C$とする.曲線$C$の漸近線のうち傾きが正の漸近線を$\ell$とし,曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$における曲線$C$の接線を$m$とする.ただし,$p>0$,$q>0$とする.また,漸近線$\ell$と接線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし,接線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする.原点を$\mathrm{O}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ.
(3) 三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ.
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ.
(1) 漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ.
(2) 接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ.
(3) 三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ.
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ.
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