防衛医科大学校
2015年 医学部 第1問
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以下の問に答えよ．
(1) $a^5-12a^4+36a^3-81a+1,\ a^2-6a$が共に有理数となるような無理数$a$を求めよ．
(2) $a_1=1$，$a_2=e$，$a_{n+2}=a_n^{-2}a_{n+1}^3 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で決まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3) $f(4)=k_1$，$f^\prime(4)=k_2$を満たすどんな関数$f(x)$についても， \[ \lim_{x \to 0} \frac{4f((x+2)^2)-(x+2)^2f(4)}{x}=\alpha k_1+\beta k_2 \] となる．このとき，定数$\alpha,\ \beta$はそれぞれいくらか．
(1) $a^5-12a^4+36a^3-81a+1,\ a^2-6a$が共に有理数となるような無理数$a$を求めよ．
(2) $a_1=1$，$a_2=e$，$a_{n+2}=a_n^{-2}a_{n+1}^3 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で決まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3) $f(4)=k_1$，$f^\prime(4)=k_2$を満たすどんな関数$f(x)$についても， \[ \lim_{x \to 0} \frac{4f((x+2)^2)-(x+2)^2f(4)}{x}=\alpha k_1+\beta k_2 \] となる．このとき，定数$\alpha,\ \beta$はそれぞれいくらか．
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