ある病気に関する$3$つの検査，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$3$つの検査の結果はどれも陽性か陰性のどちらかである．$n$人に上記の$3$つの検査を行う．陽性になった検査の数が$k$個であった者の人数を$n_k$とする（$k=0,\ 1,\ 2,\ 3$）．このとき，以下の問に答えよ．
(1) $n=10$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3)$は全部で何通りあるか．
(2) $n=15$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1$の組$(n_0,\ n_1)$のうち，下記の条件$1,\ 2,\ 3$のすべてを満たすものは全部で何通りあるか．
条件$1$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$5$人
条件$2$：検査$\mathrm{A}$で陰性となり，検査$\mathrm{B}$で陽性となった者は$6$人
条件$3$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない
(3) $n=2m$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_3)$のうち，下記の条件$4,\ 5$の両方を満たすものは全部で何通りあるか．
条件$4$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$m$人，陰性になった者も$m$人
条件$5$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない．