大阪府立大学
2015年 文系 第2問
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![異なるn個のものから異なるr個を取り出して並べる順列の総数\perm{n}{r}=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)\qquad (ただしn≧r≧1) に関して以下の問いに答えよ.(1)k>rならば\perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})が成り立つことを示せ.(2)\perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+・・・+\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}が成り立つことを示せ.(3)次の等式がすべての自然数kに対して成り立つような定数A,B,Cを求めよ.k^4=\perm{k+3}{4}+A×\perm{k+2}{3}+B×\perm{k+1}{2}+C×\perm{k}{1}(4)\frac{1^4+2^4+3^4+・・・+n^4}{1+2+3+・・・+n}をnの3次式で表せ.](./thumb/507/2698/2015_2.png)
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異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{(ただし$n \geqq r \geqq 1$)} \]
に関して以下の問いに答えよ.
(1) $k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ.
(3) 次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ. \[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4) $\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ.
(1) $k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ.
(3) 次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ. \[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4) $\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ.
類題(関連度順)
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