三重大学
2016年 工学部 第4問
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$\log x$は$x$の自然対数とする.
(1) $2$と$\log 4$の大小関係を,理由をつけて述べよ.必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい.さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ.
(2) $x>1$のとき,$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減,極値およびグラフの凹凸を調べ,このグラフの概形をかけ.
(3) $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} \ \ (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} \ \ (e \leqq x \leqq e^2)$,および$x=e^2$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1) $2$と$\log 4$の大小関係を,理由をつけて述べよ.必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい.さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ.
(2) $x>1$のとき,$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減,極値およびグラフの凹凸を調べ,このグラフの概形をかけ.
(3) $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} \ \ (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} \ \ (e \leqq x \leqq e^2)$,および$x=e^2$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
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