防衛大学校
2010年 理系 第5問
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実数$x$に対して，$t=e^x+e^{-x}$とするとき，次の問に答えよ．
(1) $t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ．
(2) $e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ．
(3) $t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより，定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4) 定数$a$に対して，$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき，$e^a+e^{-a}$の値を求めよ．（$a$の値は求めなくてよい．）
(1) $t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ．
(2) $e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ．
(3) $t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより，定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4) 定数$a$に対して，$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき，$e^a+e^{-a}$の値を求めよ．（$a$の値は求めなくてよい．）
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