山口大学
2010年 理(数理科学)・医 第2問
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![次の初項と漸化式で定まる数列{a_n}を考える.a_1=1/2,a_{n+1}=e^{-a_n}(n=1,2,3,・・・)ここで,eは自然対数の底で,1<e<3である.このとき,次の問いに答えなさい.(1)すべての自然数nについて1/3<a_n<1が成り立つことを示しなさい.(2)方程式x=e^{-x}はただ1つの実数解をもつことと,その解は1/3と1の間にあることを示しなさい.(3)関数f(x)=e^{-x}に平均値の定理を用いることによって,次の不等式が成り立つことを示しなさい.\begin{align}1/3 と1との間の任意の実数 x_1,x_2 について, \nonumber\\|f(x_2)-f(x_1)|≦e^{-1/3}|x_2-x_1|\nonumber\end{align}(4)数列{a_n}は,方程式x=e^{-x}の実数解に収束することを示しなさい.](./thumb/650/2783/2010_2.png)
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次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える.
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで,$e$は自然対数の底で,$1<e<3$である.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい.
(2) 方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと,その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい.
(3) 関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって,次の不等式が成り立つことを示しなさい. \begin{align} \frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について,} \nonumber \\ |f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber \end{align}
(4) 数列$\{a_n\}$は,方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい.
(1) すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい.
(2) 方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと,その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい.
(3) 関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって,次の不等式が成り立つことを示しなさい. \begin{align} \frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について,} \nonumber \\ |f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber \end{align}
(4) 数列$\{a_n\}$は,方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい.
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