慶應義塾大学
2012年 理工学部 第3問
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袋の中に文字$\mathrm{K}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{I}$が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつと,文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが何枚か入っている.いま,袋の中から$1$枚ずつカードを取り出し,$\mathrm{K}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{I}$,$\mathrm{O}$のすべての文字のカードがそれぞれ$1$枚以上出たところで終了する.ただし,一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする.
(1) 袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$7$枚あり,合計$10$枚のカードが入っている場合を考える.$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$\fbox{ク}$であり,$1$枚目または$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$\fbox{ケ}$である.また,最後に取り出したカードに書かれている文字が$\mathrm{K}$である確率は$\fbox{コ}$である.
(2) 袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$n$枚($n \geq 2$)あり,合計$n+3$枚のカードが入っている場合を考える.$k$枚目で終了する確率を$p_k$とすると,$p_4=\fbox{サ}$であり,$5 \leq k \leq n+3$に対しては$p_k=\fbox{シ}$である.いま,終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値を$E_n$とすると,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{E_n}{n}= \fbox{ス}$が成り立つ.
(1) 袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$7$枚あり,合計$10$枚のカードが入っている場合を考える.$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$\fbox{ク}$であり,$1$枚目または$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$\fbox{ケ}$である.また,最後に取り出したカードに書かれている文字が$\mathrm{K}$である確率は$\fbox{コ}$である.
(2) 袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$n$枚($n \geq 2$)あり,合計$n+3$枚のカードが入っている場合を考える.$k$枚目で終了する確率を$p_k$とすると,$p_4=\fbox{サ}$であり,$5 \leq k \leq n+3$に対しては$p_k=\fbox{シ}$である.いま,終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値を$E_n$とすると,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{E_n}{n}= \fbox{ス}$が成り立つ.
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