埼玉大学
2014年 理学部 第2問
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![xy平面の格子点上に駒「銀」が1枚ある.ただし,格子点とはx座標とy座標がともに整数となる点である.1回の操作で,次の(a),(b),(c),(d),(e)のいずれか1つを等しい確率で選び,駒「銀」を移動させるものとする(下図参照).(a)(x,y)から(x,y+1)に移動させる.(b)(x,y)から(x+1,y+1)に移動させる.(c)(x,y)から(x-1,y+1)に移動させる.(d)(x,y)から(x-1,y-1)に移動させる.(e)(x,y)から(x+1,y-1)に移動させる.最初に駒「銀」は原点(0,0)にあるものとし,以下の問いに答えよ.(1)3回の操作の後,駒が(1,1)にある確率を求めよ.(2)n回の操作の後,駒がある点のy座標はn-1とならないことを示せ.(3)n回の操作の後,駒が(n-1,0)にある確率を求めよ.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/118/1351/2014_2.png)
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$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある.ただし,格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である.$1$回の操作で,次の$(\mathrm{a})$,$(\mathrm{b})$,$(\mathrm{c})$,$(\mathrm{d})$,$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び,駒「銀」を移動させるものとする(下図参照).
$(\mathrm{a})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{b})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{c})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{d})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる.
$(\mathrm{e})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる.
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし,以下の問いに答えよ.
(1) $3$回の操作の後,駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ.
(2) $n$回の操作の後,駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ.
(3) $n$回の操作の後,駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ. \imgc{118_1352_2014_1}
$(\mathrm{a})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{b})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{c})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる.
$(\mathrm{d})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる.
$(\mathrm{e})$ \ \ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる.
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし,以下の問いに答えよ.
(1) $3$回の操作の後,駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ.
(2) $n$回の操作の後,駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ.
(3) $n$回の操作の後,駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ. \imgc{118_1352_2014_1}
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