大分大学
2015年 医学部 第3問
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![正の実数p_i,q_i(i=1,2,・・・,n)がΣ_{i=1}^np_i=Σ_{i=1}^nq_i=1を満たすとき,次の問いに答えなさい.(1)不等式logx≦x-1が成り立つことを証明しなさい.(2)不等式Σ_{i=1}^np_ilogp_i≧Σ_{i=1}^np_ilogq_iが成り立つことを証明しなさい.(3)F=Σ_{i=1}^np_ilogp_iの最小値を求めなさい.(4)正の実数a_i(i=1,2,・・・,n)に対して,G=Σ_{i=1}^na_iloga_iの最小値を求めなさい.](./thumb/730/3011/2015_3.png)
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正の実数$p_i,\ q_i \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$が$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=\sum_{i=1}^n q_i=1$を満たすとき,次の問いに答えなさい.
(1) 不等式$\log x \leqq x-1$が成り立つことを証明しなさい.
(2) 不等式$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \log p_i \geqq \sum_{i=1}^n p_i \log q_i$が成り立つことを証明しなさい.
(3) $\displaystyle F=\sum_{i=1}^n p_i \log p_i$の最小値を求めなさい.
(4) 正の実数$a_i \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$に対して,$\displaystyle G=\sum_{i=1}^n a_i \log a_i$の最小値を求めなさい.
(1) 不等式$\log x \leqq x-1$が成り立つことを証明しなさい.
(2) 不等式$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \log p_i \geqq \sum_{i=1}^n p_i \log q_i$が成り立つことを証明しなさい.
(3) $\displaystyle F=\sum_{i=1}^n p_i \log p_i$の最小値を求めなさい.
(4) 正の実数$a_i \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$に対して,$\displaystyle G=\sum_{i=1}^n a_i \log a_i$の最小値を求めなさい.
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