公立はこだて未来大学
2015年 理系 第7問
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![n=1,2,3,・・・に対し,xの関数f_n(x)をf_n(x)=Σ_{k=1}^n\frac{{(-1)}^{k-1}}{k}x^k=x+・・・+\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}x^nで定める.ただし,0≦x<1とする.以下の問いに答えよ.(1)|f_{n+1|(1/2)-f_n(1/2)}≦\frac{1}{1000(n+1)}を満たすようなnの最小値を求めよ.(2)\lim_{n→∞}{f_n}´(x)を求めよ.(3)nが偶数であるとき,不等式f_n(x)≦log(x+1)を示せ.](./thumb/9/0/2015_7.png)
7
$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,$x$の関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}x^k=x+\cdots +\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}x^n \]
で定める.ただし,$0 \leqq x<1$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle |f_{n+1| \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)-f_n \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)} \leqq \frac{1}{1000(n+1)}$を満たすような$n$の最小値を求めよ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}^\prime(x)$を求めよ.
(3) $n$が偶数であるとき,不等式$f_n(x) \leqq \log (x+1)$を示せ.
(1) $\displaystyle |f_{n+1| \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)-f_n \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)} \leqq \frac{1}{1000(n+1)}$を満たすような$n$の最小値を求めよ.
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}^\prime(x)$を求めよ.
(3) $n$が偶数であるとき,不等式$f_n(x) \leqq \log (x+1)$を示せ.
類題(関連度順)
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