旭川医科大学
2010年 医学部 第1問
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次の問いに答えよ．
(1) 整数を係数とする$n$次方程式 \[ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0 \] が有理数の解$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$（$\alpha$と$\beta$は互いに素な整数とする）をもつとき，$\alpha$は$a_0$の約数であり$\beta$は$a_n$の約数であることを示せ．
(2) 素数$p$に対して， \[ x+y+z=\frac{p}{3},\quad xy+yz+zx=\frac{1}{p},\quad xyz=\frac{1}{p^3} \] を満たす$x,\ y,\ z$がすべて正の有理数であるとき，$p$および$x,\ y,\ z$を求めよ．
(1) 整数を係数とする$n$次方程式 \[ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0 \] が有理数の解$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$（$\alpha$と$\beta$は互いに素な整数とする）をもつとき，$\alpha$は$a_0$の約数であり$\beta$は$a_n$の約数であることを示せ．
(2) 素数$p$に対して， \[ x+y+z=\frac{p}{3},\quad xy+yz+zx=\frac{1}{p},\quad xyz=\frac{1}{p^3} \] を満たす$x,\ y,\ z$がすべて正の有理数であるとき，$p$および$x,\ y,\ z$を求めよ．
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