$C_1$を中心$(0,\ 0)$，半径$1$の円とし，$C_2$を中心$(0,\ 0)$，半径$r>1$の円とする．$ad-bc>0$を満たす行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$で表される$1$次変換により円$C_1$が円$C_2$に移るとする．次の問いに答えよ．
(1) $a^2+c^2=b^2+d^2=r^2,\ ab+cd=0$が成り立つことを示せ．
(2) $a=r \cos \theta,\ c=r \sin \theta \ (\theta \text{は実数})$とおくとき，$b,\ d$を$r,\ \theta$を用いて表せ．
(3) $B=\displaystyle\frac{1}{r} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$とする．また，$C_1$に外接し，$C_2$に内接する$8$個の相異なる円$S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_8$が次の$3$条件$\tokeiichi,\ \tokeini,\ \tokeisan$を満たしているとする．このとき，$r$を求めよ．
(ⅰ) 行列$B$で表される$1$次変換により$S_i \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_{i+1}$に，$S_8$は$S_1$に移る．
(ⅱ) $S_{i+1} \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_i$に外接し，$S_8$は$S_1$にも外接する．
(ⅲ) $S_1$は$S_3,\ S_4,\ \cdots, S_7$と交わらない．