旭川医科大学
2012年 医学部 第1問
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正の奇数$p$に対して，$3$つの自然数の組$(x,\ y,\ z)$で，$x^2+4yz=p$を満たすもの全体の集合を$S$とおく．すなわち，
\[ S=\left\{ (x,\ y,\ z) \;\Big|\; x,\ y,\ z \text{は自然数，} \ \ x^2+4yz=p \right\} \]
次の問いに答えよ．
(1) $S$が空集合でないための必要十分条件は，$p=4k+1 \ (k \text{は自然数})$と書けることであることを示せ．
(2) $S$の要素の個数が奇数ならば$S$の要素$(x,\ y,\ z)$で$y=z$となるものが存在することを示せ．
(1) $S$が空集合でないための必要十分条件は，$p=4k+1 \ (k \text{は自然数})$と書けることであることを示せ．
(2) $S$の要素の個数が奇数ならば$S$の要素$(x,\ y,\ z)$で$y=z$となるものが存在することを示せ．
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