平面上に正三角形でない鋭角三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}$とおく．さらに，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$をそれぞれ$s-c:s-b,\ s-a:s-c,\ s-b:s-a$に内分する点を$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする．次の問いに答えよ．
(1) 点Nを$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{(s-a)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(s-b)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(s-c)\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{s}$と定義するとき，$3$直線$\mathrm{AX}$，$\mathrm{BY}$，$\mathrm{CZ}$は$\mathrm{N}$で交わることを示せ．
(2) $\mathrm{P}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点，$\triangle \mathrm{PBC}$，$\triangle \mathrm{PCA}$，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積をそれぞれ$S_A,\ S_B,\ S_C$とするとき， \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{S_A\overrightarrow{\mathrm{OA}}+S_B\overrightarrow{\mathrm{OB}}+S_C\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{S_A+S_B+S_C} \] と表される．このことを用いて，$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$a$，$b$，$c$を用いて表せ．
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{N}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{G}$を通る直線上にあるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$は$2$等辺三角形であることを示せ．