一列に並んだ$3$つの部屋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$2$頭の象がいる．$2$頭の象は毎日$1$つの部屋から隣の部屋に，次のルールに従って移動する．
$0<p<1$とし，象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る．象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る．象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り，移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る．$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない．
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし，$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $a_1$を求めよ．
(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき，$a_n$を求めよ．