宇都宮大学
2013年 理系 第4問
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![関数f(x)={\begin{array}{ll}-2x^2+2x&(x≧0)\x^2+2x&(x<0)\end{array}.に対して,関数F(x)をF(x)=∫_{-3}^xf(t)dtと定め,曲線y=F(x)をCとする.このとき,次の問いに答えよ.(1)関数F(x)の増減を調べて,-3≦x≦2の範囲でy=F(x)のグラフの概形をかけ.(2)曲線C上の2点PとQにおけるCの接線の傾きが等しいとし,P,Qのx座標をそれぞれa,bとする.aが0<a<1の範囲を動くとき,bのとりうる値の範囲を求めよ.ただし,b<0とする.(3)曲線C上の3点P,Q,RにおけるCの接線の傾きが等しいとする.P,Q,Rのx座標をそれぞれa,b,cとし,a>b>cであるとする.このとき,aのとりうる値の範囲を求め,さらにa-b=b-cであるときのaの値を求めよ.](./thumb/95/2200/2013_4.png)
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関数$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-2x^2+2x & (x \geqq 0) \\
x^2+2x & (x<0)
\end{array} \right.$に対して,関数$F(x)$を$\displaystyle F(x)=\int_{-3}^x f(t) \, dt$と定め,曲線$y=F(x)$を$C$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 関数$F(x)$の増減を調べて,$-3 \leqq x \leqq 2$の範囲で$y=F(x)$のグラフの概形をかけ.
(2) 曲線$C$上の$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$における$C$の接線の傾きが等しいとし,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする.$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき,$b$のとりうる値の範囲を求めよ.ただし,$b<0$とする.
(3) 曲線$C$上の$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$における$C$の接線の傾きが等しいとする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b,\ c$とし,$a>b>c$であるとする.このとき,$a$のとりうる値の範囲を求め,さらに$a-b=b-c$であるときの$a$の値を求めよ.
(1) 関数$F(x)$の増減を調べて,$-3 \leqq x \leqq 2$の範囲で$y=F(x)$のグラフの概形をかけ.
(2) 曲線$C$上の$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$における$C$の接線の傾きが等しいとし,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする.$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき,$b$のとりうる値の範囲を求めよ.ただし,$b<0$とする.
(3) 曲線$C$上の$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$における$C$の接線の傾きが等しいとする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b,\ c$とし,$a>b>c$であるとする.このとき,$a$のとりうる値の範囲を求め,さらに$a-b=b-c$であるときの$a$の値を求めよ.
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