東京大学
2011年 理系 第2問
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![実数xの小数部分を,0≦y<1かつx-yが整数となる実数yのこととし,これを記号\langlex\rangleで表す.実数aに対して,無限数列{a_n}の各項a_n(n=1,2,3,・・・)を次のように順次定める. a_1=\langlea\rangle{\begin{array}{l}a_n≠0 のとき, a_{n+1}=\langle1/a\rangle\\a_n=0 のとき, a_{n+1}=0\end{array}.(1)a=√2のとき,数列{a_n}を求めよ.(2)任意の自然数nに対してa_n=aとなるような1/3以上の実数aをすべて求めよ.(3)aが有理数であるとする.aを整数pと自然数qを用いてa=p/qと表すとき,q以上のすべての自然数nに対して,a_n=0であることを示せ.](./thumb/179/910/2011_2.png)
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実数$x$の小数部分を,$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし,これを記号$\langle x \rangle$で表す.実数$a$に対して,無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める.
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき,} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき,} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]
(1) $a=\sqrt{2}$のとき,数列$\{a_n\}$を求めよ.
(2) 任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ.
(3) $a$が有理数であるとする.$a$を整数$p$と自然数$q$を用いて$\displaystyle a=\frac{p}{q}$と表すとき,$q$以上のすべての自然数$n$に対して,$a_n=0$であることを示せ.
(1) $a=\sqrt{2}$のとき,数列$\{a_n\}$を求めよ.
(2) 任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ.
(3) $a$が有理数であるとする.$a$を整数$p$と自然数$q$を用いて$\displaystyle a=\frac{p}{q}$と表すとき,$q$以上のすべての自然数$n$に対して,$a_n=0$であることを示せ.
類題(関連度順)
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