東京大学
2015年 理系 第3問
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![aを正の実数とし,pを正の有理数とする.座標平面上の2つの曲線y=ax^p(x>0)とy=logx(x>0)を考える.この2つの曲線の共有点が1点のみであるとし,その共有点をQとする.以下の問いに答えよ.必要であれば,\lim_{x→∞}\frac{x^p}{logx}=∞を証明なしに用いてよい.(1)aおよび点Qのx座標をpを用いて表せ.(2)この2つの曲線とx軸で囲まれる図形を,x軸のまわりに1回転してできる立体の体積をpを用いて表せ.(3)(2)で得られる立体の体積が2πになるときのpの値を求めよ.](./thumb/179/910/2015_3.png)
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$a$を正の実数とし,$p$を正の有理数とする.座標平面上の$2$つの曲線$y=ax^p \ \ (x>0)$と$y=\log x \ \ (x>0)$を考える.この$2$つの曲線の共有点が$1$点のみであるとし,その共有点を$\mathrm{Q}$とする.以下の問いに答えよ.必要であれば,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{\log x}=\infty$を証明なしに用いてよい.
(1) $a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ.
(2) この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ.
(3) $(2)$で得られる立体の体積が$2 \pi$になるときの$p$の値を求めよ.
(1) $a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ.
(2) この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ.
(3) $(2)$で得られる立体の体積が$2 \pi$になるときの$p$の値を求めよ.
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