静岡大学
2013年 教育・農・理(生物,地球) 第2問
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$\triangle \mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{OB}$の長さを$1$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k$とする.このとき,辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$に関して,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$のとき,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$s$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$かつ$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$のとき,等式$9s^2-6ks+2k-1=0$が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上にただ$1$つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ.ただし,点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上に存在するとは,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{O}$または$\mathrm{B}$と一致する場合を含むものとする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$のとき,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$s$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (0 \leqq s \leqq 1)$かつ$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$のとき,等式$9s^2-6ks+2k-1=0$が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上にただ$1$つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ.ただし,点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{OB}$上に存在するとは,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{O}$または$\mathrm{B}$と一致する場合を含むものとする.
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