大阪薬科大学
2013年 薬学部 第2問
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![次の問いに答えなさい.実数tに対し,一辺の長さが1の正三角形OABの辺OAをt:(1-t)に内分する点をP,辺ABを2t:(1-2t)に内分する点をQ,辺BOを3t:(1-3t)に内分する点をRとする.ただし,P,Q,Rは正三角形OABの辺上にあり,いずれの頂点とも一致しないものとする.(1)tがとる値の範囲は[]である.(2)ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとする.(i)ベクトルa・ベクトルb=[]である.(ii)ベクトルPQをt,ベクトルa,ベクトルbを使って表すと,ベクトルPQ=[]となる.(iii)∠QPR=π/2となるのは,t=[]のときである.(3)三角形PQRの面積をSとする.Sをtを使って表し,またSの最小値を求めなさい.](./thumb/534/2304/2013_2.png)
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次の問いに答えなさい.
実数$t$に対し,一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AB}$を$2t:(1-2t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{BO}$を$3t:(1-3t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.ただし,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$は正三角形$\mathrm{OAB}$の辺上にあり,いずれの頂点とも一致しないものとする.
(1) $t$がとる値の範囲は$\fbox{}$である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする.
(ⅰ) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{}$である.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を使って表すと,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\fbox{}$となる.
(ⅲ) $\displaystyle \angle \mathrm{QPR}=\frac{\pi}{2}$となるのは,$t=\fbox{}$のときである.
(3) 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする.$S$を$t$を使って表し,また$S$の最小値を求めなさい.
実数$t$に対し,一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AB}$を$2t:(1-2t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{BO}$を$3t:(1-3t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.ただし,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$は正三角形$\mathrm{OAB}$の辺上にあり,いずれの頂点とも一致しないものとする.
(1) $t$がとる値の範囲は$\fbox{}$である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする.
(ⅰ) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{}$である.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を使って表すと,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\fbox{}$となる.
(ⅲ) $\displaystyle \angle \mathrm{QPR}=\frac{\pi}{2}$となるのは,$t=\fbox{}$のときである.
(3) 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする.$S$を$t$を使って表し,また$S$の最小値を求めなさい.
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