大阪大学
2010年 理系 第5問
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$n$を$0$以上の整数とする.立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の頂点を,以下のように移動する$2$つの動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を考える.時刻$0$には$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に位置し,$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$に位置している.時刻$n$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置していれば,時刻$n+1$には,$\mathrm{P}$は時刻$n$に位置していた頂点から,それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移り,$\mathrm{Q}$も時刻$n$に位置していた頂点から,それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移る.一方,時刻$n$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に位置していれば,時刻$n+1$には$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$も時刻$n$の位置からは移動しない.
(1) 時刻$1$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか.可能な組み合わせをすべて挙げよ.
(2) 時刻$n$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ.
(3) 時刻$n$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか,またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする.また, 時刻$n$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$,他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする.$p_{n+1}$を,$p_n$と$q_n$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ. \imgc{504_1073_2010_1}
(1) 時刻$1$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか.可能な組み合わせをすべて挙げよ.
(2) 時刻$n$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ.
(3) 時刻$n$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか,またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする.また, 時刻$n$において,$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$,他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする.$p_{n+1}$を,$p_n$と$q_n$を用いて表せ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ. \imgc{504_1073_2010_1}
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