日本女子大学
2011年 理学部 第1問
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曲線$y=e^x$を$C$とする.点$\mathrm{Q}_1$を$x$軸上に取る.点$\mathrm{Q}_1$を通り$y$軸と平行な直線を$\ell_1$とする.$\ell_1$が$C$と交わる点を$\mathrm{P}_1$とする.点$\mathrm{P}_1$における$C$の接線を$\ell_1^\prime$とする.$\ell_1^\prime$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_2$とする.さらに,点$\mathrm{Q}_2$を通り$y$軸と平行な直線を$\ell_2$とする.$\ell_2$が$C$と交わる点を$\mathrm{P}_2$とする.点$\mathrm{P}_2$における$C$の接線を$\ell_2^\prime$とする.$\ell_2^\prime$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_3$とする.これを続けて,$C$上の点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_n$,$\cdots$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$,$\cdots$,$\mathrm{Q}_n$,$\cdots$を決める.$\mathrm{P}_1$の座標を$(a,\ e^a)$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{Q}_n$の$x$座標を求めよ.
(2) $C$と直線$\ell_n^\prime$および$\ell_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$s_n$とするとき,無限級数$s_1+s_2+\cdots +s_n+\cdots$の和を求めよ.
(1) $\mathrm{Q}_n$の$x$座標を求めよ.
(2) $C$と直線$\ell_n^\prime$および$\ell_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$s_n$とするとき,無限級数$s_1+s_2+\cdots +s_n+\cdots$の和を求めよ.
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