南山大学
2014年 理工学部 第2問
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![a>0,b>0,c>0とする.原点をOとする座標空間に3点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)をとり,△ABCの重心をGとする.(1)Gの座標をa,b,cで表せ.(2)Gを通り,ベクトルOGと垂直な平面をαとし,αとx軸,y軸,z軸との交点をそれぞれP,Q,Rとする.P,Q,Rの座標をa,b,cで表せ.(3)(2)のP,Q,Rについて,ベクトルPQとベクトルPRのなす角をθとする.cosθをa,b,cで表せ.](./thumb/451/1220/2014_2.png)
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$a>0$,$b>0$,$c>0$とする.原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$をとり,$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.
(1) $\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ.
(2) $\mathrm{G}$を通り,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし,$\alpha$と$x$軸,$y$軸,$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ.
(3) $(2)$の$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$について,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする.$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ.
(1) $\mathrm{G}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ.
(2) $\mathrm{G}$を通り,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と垂直な平面を$\alpha$とし,$\alpha$と$x$軸,$y$軸,$z$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b,\ c$で表せ.
(3) $(2)$の$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$について,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\theta$とする.$\cos \theta$を$a,\ b,\ c$で表せ.
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