松山大学
2014年 薬学部 第3問
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次の空所$\fbox{ア}$~$\fbox{ソ}$を埋めよ.
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある. \imgc{672_2270_2014_2}
(1) $\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき,$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}}$となり,正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エオ}}$である.
(2) 辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる.四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$のときに最大となり,これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$倍である.
(3) $\displaystyle x=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$のとき,$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると,$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}}$であり,$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{シス}}}{\fbox{セソ}}$である.
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある. \imgc{672_2270_2014_2}
(1) $\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき,$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ア}}}{\fbox{イ}}$となり,正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エオ}}$である.
(2) 辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる.四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$のときに最大となり,これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$倍である.
(3) $\displaystyle x=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}$のとき,$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると,$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}}$であり,$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{シス}}}{\fbox{セソ}}$である.
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