九州工業大学
2014年 工学部 第1問
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空間において$1$点$\mathrm{O}$を固定し,$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが$\overrightarrow{p}$である点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$で表す.$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$,$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$,$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において,線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{BC}$を$s:1-s \ \ (0<s<1)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.また,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし,$\displaystyle \overrightarrow{h}=\overrightarrow{a}-\frac{9}{16} \overrightarrow{b}+\frac{9}{16} \overrightarrow{c}$を位置ベクトルとする平面$\alpha$上の点を$\mathrm{H}(\overrightarrow{h})$とする.$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{OB}=3 \sqrt{2}$,$\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=4$,$\mathrm{AC}=5$として,次に答えよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ.また,内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ.
(2) 線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ.
(3) $3$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$の定める平面が点$\mathrm{H}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(4) $s$を$(3)$で求めた値とするとき,四面体$\mathrm{OAFC}$の体積$V$を求めよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ.また,内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ.
(2) 線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ.
(3) $3$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$の定める平面が点$\mathrm{H}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(4) $s$を$(3)$で求めた値とするとき,四面体$\mathrm{OAFC}$の体積$V$を求めよ.
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