九州工業大学
2013年 工学部 第2問
2
![a,bを実数とし,行列Aを2次の正方行列とする.x,yについての連立1次方程式を,行列を用いてA(\begin{array}{c}x\y\end{array})=(\begin{array}{c}a\b\end{array})・・・・・・(*)と表す.次に答えよ.(1)A=(\begin{array}{cc}3&2\6&4\end{array})のとき,連立1次方程式(*)を解け.(2)cを実数とし,a≠0,b≠0とする.また,A=(\begin{array}{cc}a&b\c&1\end{array})とする.(i)a≠bcとする.連立1次方程式(*)がただ1つの解をもつことを示せ.また,連立1次方程式A^2(\begin{array}{c}x\y\end{array})=(\begin{array}{c}a\b\end{array})もただ1つの解をもつことを示せ.(ii)連立1次方程式(*)が解をもたないための必要十分条件をa,b,cを用いて表せ.この条件が成り立つとき,連立1次方程式A^2(\begin{array}{c}x\y\end{array})=(\begin{array}{c}a\b\end{array})も解をもたないことを示せ.(iii)連立1次方程式(*)が解を無数にもつための必要十分条件をa,b,cを用いて表せ.この条件が成り立つとき,自然数mに対して,連立1次方程式(A+A^2+A^3+・・・+A^{2m-1})(\begin{array}{c}x\y\end{array})=(\begin{array}{c}a\b\end{array})も解を無数にもつことを示せ.](./thumb/678/3144/2013_2.png)
2
$a,\ b$を実数とし,行列$A$を$2$次の正方行列とする.$x,\ y$についての連立$1$次方程式を,行列を用いて
\[ A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \hfill \cdots\cdots (\ast) \]
と表す.次に答えよ.
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{array} \right)$のとき,連立$1$次方程式$(\ast)$を解け.
(2) $c$を実数とし,$a \neq 0,\ b \neq 0$とする.また,$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & 1 \end{array} \right)$とする.
(ⅰ) $a \neq bc$とする.連立$1$次方程式$(\ast)$がただ$1$つの解をもつことを示せ.また,連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$もただ$1$つの解をもつことを示せ.
(ⅱ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解をもたないための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.この条件が成り立つとき,連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$も解をもたないことを示せ.
(ⅲ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解を無数にもつための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.この条件が成り立つとき,自然数$m$に対して,連立$1$次方程式 \[ (A+A^2+A^3+\cdots +A^{2m-1}) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \] も解を無数にもつことを示せ.
(1) $A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{array} \right)$のとき,連立$1$次方程式$(\ast)$を解け.
(2) $c$を実数とし,$a \neq 0,\ b \neq 0$とする.また,$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & 1 \end{array} \right)$とする.
(ⅰ) $a \neq bc$とする.連立$1$次方程式$(\ast)$がただ$1$つの解をもつことを示せ.また,連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$もただ$1$つの解をもつことを示せ.
(ⅱ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解をもたないための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.この条件が成り立つとき,連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$も解をもたないことを示せ.
(ⅲ) 連立$1$次方程式$(\ast)$が解を無数にもつための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.この条件が成り立つとき,自然数$m$に対して,連立$1$次方程式 \[ (A+A^2+A^3+\cdots +A^{2m-1}) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \] も解を無数にもつことを示せ.
類題(関連度順)
![](./thumb/396/1404/2013_4s.png)
![](./thumb/455/2242/2012_3s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。