鹿児島大学
2010年 理(生化)・医(理療)・農・水産・共同獣医 第3問
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座標平面において,点$\mathrm{C} \displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とし,半径が$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$S$とする.$S$上に点$\mathrm{N}(0,\ 1)$をとり,$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする.このとき,次の各問いに答えよ.ただし,$\mathrm{O}$は原点を表すものとする.
(1) $x$軸上に点$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとり,直線$\mathrm{NP}$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき,$a,\ b$を$x$で表せ.
(2) $x$軸上に$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 0)$,$\mathrm{P}_2(x_2,\ 0)$をとる.直線$\mathrm{NP}_1$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_1$とし,直線$\mathrm{NP}_2$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_2$とする.このとき,$x_1 x_2=-1$が成り立っていれば \[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \] が成立することを証明せよ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする.
(1) $x$軸上に点$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとり,直線$\mathrm{NP}$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a \overrightarrow{p}+b \overrightarrow{n}$の形で表したとき,$a,\ b$を$x$で表せ.
(2) $x$軸上に$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ 0)$,$\mathrm{P}_2(x_2,\ 0)$をとる.直線$\mathrm{NP}_1$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_1$とし,直線$\mathrm{NP}_2$と円$S$との交点のうち,$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}_2$とする.このとき,$x_1 x_2=-1$が成り立っていれば \[ \overrightarrow{\mathrm{CQ}_1}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}_2}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \] が成立することを証明せよ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルを表すものとする.
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