上智大学
2014年 総合(看護) 第2問
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$\angle \mathrm{A}$が鋭角で$\mathrm{AB}=6$,$\mathrm{AC}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある.$\angle \mathrm{A}$の二等分線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし,直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする.
(1) 面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと, \[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=\fbox{コ}:\fbox{サ} \] である.
(2) 線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと, \[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=\fbox{シ}:\fbox{ス} \] である.
(3) $\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$,$\mathrm{BC}=\fbox{タ} \sqrt{\fbox{チ}}$,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}$である.
また,$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\fbox{ト}$であり,内接円の半径は$\sqrt{\fbox{ナ}}-\fbox{ニ}$である.
(1) 面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと, \[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=\fbox{コ}:\fbox{サ} \] である.
(2) 線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと, \[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=\fbox{シ}:\fbox{ス} \] である.
(3) $\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$,$\mathrm{BC}=\fbox{タ} \sqrt{\fbox{チ}}$,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}$である.
また,$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\fbox{ト}$であり,内接円の半径は$\sqrt{\fbox{ナ}}-\fbox{ニ}$である.
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