北海道薬科大学
2016年 薬学部 第3問
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食塩水が$100 \, \mathrm{g}$ある.これから$20 \, \mathrm{g}$を取って捨てた後に濃度が$10 \, \%$の食塩水を$20 \, \mathrm{g}$加える.食塩水の初めの濃度を$20 \, \%$として,この操作を$n$回($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を$x_n \, \mathrm{g}$とする.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
(1) $x_1$は$\fbox{アイ}$である.
(2) $\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}x_n+\fbox{オ}$が成り立つ.この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと,定数$p,\ q$の値は \[ p=\fbox{カキ},\quad q=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \] となる.これより \[ x_n=\fbox{コサ}+\fbox{シス} \left( \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \right)^n \] が得られる.
(3) 食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには,この操作を少なくとも$\fbox{タチ}$回繰り返す必要がある.
(1) $x_1$は$\fbox{アイ}$である.
(2) $\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}x_n+\fbox{オ}$が成り立つ.この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと,定数$p,\ q$の値は \[ p=\fbox{カキ},\quad q=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \] となる.これより \[ x_n=\fbox{コサ}+\fbox{シス} \left( \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \right)^n \] が得られる.
(3) 食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには,この操作を少なくとも$\fbox{タチ}$回繰り返す必要がある.
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