福島大学
2011年 理工 第3問
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以下の問いに答えなさい.
(1) 2つの容器 A,Bがある.はじめAの容器には100gの純水が,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている.Aの3分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち,Aをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$.$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい.
(2) 上記(1)の操作の後,A,Bの溶液を捨て,改めてAの容器には100gの純水を,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる.自然数$n$について,Aの$n$分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$.$1 \leqq k \leqq n-1$のとき,$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい.さらに$a_n$を求めなさい.
(1) 2つの容器 A,Bがある.はじめAの容器には100gの純水が,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている.Aの3分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち,Aをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$.$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい.
(2) 上記(1)の操作の後,A,Bの溶液を捨て,改めてAの容器には100gの純水を,Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる.自然数$n$について,Aの$n$分の1を捨て,捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える.この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$.$1 \leqq k \leqq n-1$のとき,$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい.さらに$a_n$を求めなさい.
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