福岡女子大学
2014年 国際文理(環境科学) 第3問
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関数$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$のグラフを考える.点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$は$x$軸上にあり,その$x$座標はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ 1$である.また,$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$,$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする.これらの点に対して,点$\mathrm{A}^\prime$,$\mathrm{M}^\prime$,$\mathrm{B}^\prime$,$\mathrm{N}^\prime$,$\mathrm{C}^\prime$はグラフ上にあり,その$x$座標は$\mathrm{A}$,$\mathrm{M}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{C}$のそれと同一である.また,点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}^\prime \mathrm{A}$上に,点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{B}^\prime \mathrm{B}$上にあり,$\mathrm{PQ}$は点$\mathrm{M}^\prime$で$\displaystyle y=\frac{1}{x}$と接する.点$\mathrm{R}$は$\mathrm{B}^\prime \mathrm{B}$上に,点$\mathrm{S}$は$\mathrm{C}^\prime \mathrm{C}$上にあり,$\mathrm{RS}$は点$\mathrm{N}^\prime$で$\displaystyle y=\frac{1}{x}$と接している.以下の問に答えなさい.
(1) 台形$\mathrm{AA}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{B}$の面積,台形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{C}^\prime \mathrm{C}$の面積をそれぞれ求めなさい.
(2) 台形$\mathrm{APQB}$の面積,台形$\mathrm{BRSC}$の面積をそれぞれ求めなさい.
(3) 定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{1}{x} \, dx$と$(1)$の$2$つの台形の面積の和,および$(2)$の$2$つの台形の面積の和を比較することにより,次の不等式を証明しなさい. \[ \frac{16}{15}<\log 3<\frac{7}{6} \] \imgc{683_3132_2014_1}
(1) 台形$\mathrm{AA}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{B}$の面積,台形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{C}^\prime \mathrm{C}$の面積をそれぞれ求めなさい.
(2) 台形$\mathrm{APQB}$の面積,台形$\mathrm{BRSC}$の面積をそれぞれ求めなさい.
(3) 定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{1}{x} \, dx$と$(1)$の$2$つの台形の面積の和,および$(2)$の$2$つの台形の面積の和を比較することにより,次の不等式を証明しなさい. \[ \frac{16}{15}<\log 3<\frac{7}{6} \] \imgc{683_3132_2014_1}
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