中央大学
2012年 理工(一般) 第2問
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次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び,その記号をマークせよ.ただし,同じ記号を$2$度以上用いてもよい.
$a$を$1$より大きい実数とする.$xy$平面において,$x$軸,$y$軸,直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい.$n$を自然数とし,$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする.また,$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする.
(1) $4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$,$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$,$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$,$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする.このとき$M_k=\fbox{キ}$となる.とくに$f(x)=a^x$であれば,面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$\fbox{ク}$となる.ここで,極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\fbox{ケ}$を用いると,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\fbox{コ}$と計算される.
(2) 以下では,曲線$y=f(x)$は下に凸とする.
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$,$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$,$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を \[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \] とおく.$x$軸,直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$,直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき,$N_k=\fbox{サ}$となる.とくに$f(x)=a^x$であれば,面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$\fbox{シ}$となる. \begin{itemize}
ケ,コの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ e^a \phantom{AA} & \marub \ \ e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \ \ \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud \ \ (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue \ \ (a-1)e^{-a} \\ \\ \maruf \ \ \log a & \marug \ \ \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \ \ \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj \ \ (a-1) \log a \end{array} \]
キ,サの解答群
[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
ク,シの解答群 \[ \begin{array}{ll} \marua \ \ \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \ \ \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\ \maruc \ \ \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\ \marue \ \ \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\ \marug \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\ \marui \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \ \ \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\ \maruk \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} & \end{array} \] \end{itemize}
$a$を$1$より大きい実数とする.$xy$平面において,$x$軸,$y$軸,直線$x=1$と曲線$y=a^x$で囲まれる部分の面積を近似的に計算したい.$n$を自然数とし,$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする.また,$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$f(x)>0$を満たす連続関数とする.
(1) $4$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ 0 \right)$,$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ 0 \right)$,$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$,$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$を頂点にもつ台形の面積を$M_k$とする.このとき$M_k=\fbox{キ}$となる.とくに$f(x)=a^x$であれば,面積の和$S_n=M_1+M_2+\cdots +M_n$は$\fbox{ク}$となる.ここで,極限$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\fbox{ケ}$を用いると,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\fbox{コ}$と計算される.
(2) 以下では,曲線$y=f(x)$は下に凸とする.
$3$点$\displaystyle \left( \frac{k-1}{n},\ f \left( \frac{k-1}{n} \right) \right)$,$\displaystyle \left( \frac{2k-1}{2n},\ f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) \right)$,$\displaystyle \left( \frac{k}{n},\ f \left( \frac{k}{n} \right) \right)$を通る放物線を \[ C_k:y=\alpha \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)^2+\beta \left( x-\frac{2k-1}{2n} \right)+\gamma \quad (\alpha,\ \beta,\ \gamma \text{は定数}) \] とおく.$x$軸,直線$\displaystyle x=\frac{k-1}{n}$,直線$\displaystyle x=\frac{k}{n}$と放物線$C_k$で囲まれる部分の面積を$N_k$とおくとき,$N_k=\fbox{サ}$となる.とくに$f(x)=a^x$であれば,面積の和$N_1+N_2+\cdots N_n$は$\fbox{シ}$となる. \begin{itemize}
ケ,コの解答群 \[ \begin{array}{lllll} \marua \ \ e^a \phantom{AA} & \marub \ \ e^{-a} \phantom{AA} & \maruc \ \ \displaystyle\frac{e^a}{a-1} \phantom{AA} & \marud \ \ (a-1)e^a \phantom{AA} & \marue \ \ (a-1)e^{-a} \\ \\ \maruf \ \ \log a & \marug \ \ \displaystyle\frac{1}{\log a} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{\log a}{a-1} & \marui \ \ \displaystyle\frac{a-1}{\log a} & \maruj \ \ (a-1) \log a \end{array} \]
キ,サの解答群
[$\marua$] $\displaystyle \frac{1}{n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marub$] $\displaystyle \frac{1}{2n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\maruc$] $\displaystyle \frac{1}{3n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marud$] $\displaystyle \frac{1}{4n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+2f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\marue$] $\displaystyle \frac{1}{5n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+3f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$ [$\maruf$] $\displaystyle \frac{1}{6n} \left\{ f \left( \frac{k-1}{n} \right)+4f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)+f \left( \frac{k}{n} \right) \right\}$
ク,シの解答群 \[ \begin{array}{ll} \marua \ \ \displaystyle\frac{(a^n-1) \sqrt{a}}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marub \ \ \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{2n}}(a-1)}{n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\ \maruc \ \ \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{n(a-1)} \phantom{AA} & \marud \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\ \marue \ \ \displaystyle\frac{(a+1)(a^n-1)}{2n(a-1)} & \maruf \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+1)(a-1)}{2n(a^{\frac{1}{n}}-1)} \\ \\ \marug \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruh \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{3n(a^\frac{1}{n}-1)} \\ \\ \marui \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+2a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{4n(a^\frac{1}{n}-1)} & \maruj \ \ \displaystyle\frac{(a+3 \sqrt{a}+1)(a^n-1)}{5n(a-1)} \\ \\ \maruk \ \ \displaystyle\frac{(a^{\frac{1}{n}}+4a^{\frac{1}{2n}}+1)(a-1)}{6n(a^\frac{1}{n}-1)} & \end{array} \] \end{itemize}
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