愛知県立大学
2013年 理系 第4問
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$f=(x \quad y) \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & a
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$とする.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,$a$,$b$,$c$,$x$,$y$は実数とする.
(1) 次の等式を満たす$d,\ e$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ. \[ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & a \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} a & d \\ d & a \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} 0 & e \\ -e & 0 \end{array} \right) \]
(2) $b=c=0$のとき,$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を求めよ.
(3) $P=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)$とし,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.このとき,次の等式を満たす$z$,$w$,$\theta$を求めよ.ただし,$b \neq 0$とする. \[ P^{-1} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) P=\left( \begin{array}{cc} z & 0 \\ 0 & w \end{array} \right) \]
(4) (1)と(3)の結果を利用して,$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を$b,\ c$を用いて求めよ.
(1) 次の等式を満たす$d,\ e$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ. \[ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & a \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} a & d \\ d & a \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} 0 & e \\ -e & 0 \end{array} \right) \]
(2) $b=c=0$のとき,$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を求めよ.
(3) $P=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)$とし,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.このとき,次の等式を満たす$z$,$w$,$\theta$を求めよ.ただし,$b \neq 0$とする. \[ P^{-1} \left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) P=\left( \begin{array}{cc} z & 0 \\ 0 & w \end{array} \right) \]
(4) (1)と(3)の結果を利用して,$x=y=0$を除くすべての$x,\ y$に対して$f>0$となる$a$の条件を$b,\ c$を用いて求めよ.
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