次の各設問に答えなさい．
(1) $\displaystyle \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^2}+\frac{4}{1+a^4}+\frac{8}{1+a^8}$を計算しなさい．
(2) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3) $k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+4x-2k$，$y=x^2+2kx+3k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．
(ⅰ) $C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値を求めよ．
(ⅱ) $C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(4) $\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=4$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(5) 男子$4$人，女子$3$人が一列に並ぶとき，女子$3$人が続く並び方は，$\fbox{ア}$通りであり，両端に男子が並ぶのは$\fbox{イ}$通りである．