$xyz$空間に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{P}$は以下の条件を満たすとする．
(ⅰ) $\mathrm{AP}=2$．
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$の$y$座標は$1$．
(ⅲ) 線分$\mathrm{AP}$は$xy$平面と交わる．ただし，点$\mathrm{P}$が$xy$平面上にあるときは，線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面は点$\mathrm{P}$で交わるものとする．
このとき線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，以下の問に答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}$の$z$座標を$t$を用いて表せ．
(2) $t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(3) 点$\mathrm{Q}$の座標を$(u,\ v,\ 0)$とするとき，$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(4) $t$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，点$(u,\ v)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．