放物線$y=ax^2+bx+c \ \ (a \neq 0)$が点$(0,\ 1)$を通り，かつ，その頂点の座標が$(\cos \theta,\ -\cos 2\theta)$であるとき，次の問に答えよ．ただし，定数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある．
(1) $a$および$c$の値を求めよ．
(2) $b$を$\theta$を用いて表せ．
(3) 関数$y=ax^2+bx+c \ \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値が$5$となるような$\theta$の値をすべて求めよ．