青山学院大学
2011年 理工B方式 第2問
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![四面体OABCを考える．またベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．次の問に答えよ．(1)線分ABを2:1に内分する点をDとする．このときベクトルODをベクトルa，ベクトルbを用いて表すとベクトルOD=\frac{[]}{[]}ベクトルa+\frac{[]}{[]}ベクトルbである．(2)線分BCを1:3に内分する点をEとし，直線CDとAEの交点をPとする．ベクトルOPをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いて表すとベクトルOP=\frac{1}{[]}([]ベクトルa+[]ベクトルb+[]ベクトルc)である．(3)四面体OAPCの体積は，四面体OABCの体積の\frac{[]}{[]}倍である．](./thumb/189/2276/2011_2.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$を考える．また$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．次の問に答えよ．
(1) 線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{\fbox{}}{\fbox{}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{}}{\fbox{}} \overrightarrow{b} \] である．
(2) 線分$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{\fbox{}} (\fbox{} \overrightarrow{a}+\fbox{} \overrightarrow{b}+\fbox{} \overrightarrow{c}) \] である．
(3) 四面体$\mathrm{OAPC}$の体積は，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{\fbox{}}{\fbox{}}$倍である．
(1) 線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{\fbox{}}{\fbox{}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{}}{\fbox{}} \overrightarrow{b} \] である．
(2) 線分$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{\fbox{}} (\fbox{} \overrightarrow{a}+\fbox{} \overrightarrow{b}+\fbox{} \overrightarrow{c}) \] である．
(3) 四面体$\mathrm{OAPC}$の体積は，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{\fbox{}}{\fbox{}}$倍である．
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