二つの関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める． \[ \begin{array}{l} f(x)=4x^2-8s(x+k)+s^4-s^2 \\ g(x)=8sx+s^4-4 \end{array} \] ここで，$k$と$s$は実数の定数であり，$0<s \leqq 1$とする．また，$y=f(x)$のグラフは点$(0,\ s^4)$を通ることとする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．
(1) $k$を$s$で表せ．
(2) $f(x)$の最小値を$m$とする．$m$を$s$を用いて表せ．
(3) $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが少なくとも一つの共有点をもつような$s$の値の範囲を求めよ．
(4) $s$の値が$(3)$で得られた範囲にあるとき，$m$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．