大阪大学
2011年 文系 第3問
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![a,b,cを実数とする.ベクトルベクトルv_1=(3,0),ベクトルv_2=(1,2√2)をとり,ベクトルv_3=aベクトルv_1+bベクトルv_2とおく.座標平面上のベクトルベクトルpに対する条件(*)\qquad (ベクトルv_1・ベクトルp)ベクトルv_1+(ベクトルv_2・ベクトルp)ベクトルv_2+(ベクトルv_3・ベクトルp)ベクトルv_3=cベクトルpを考える.ここでベクトルv_i・ベクトルp(i=1,2,3)はベクトルベクトルv_iとベクトルベクトルpの内積を表す.このとき以下の問いに答えよ.(1)座標平面上の任意のベクトルベクトルv=(x,y)が,実数s,tを用いてベクトルv=sベクトルv_1+tベクトルv_2と表されることを,sおよびtの各々をx,yの式で表すことによって示せ.(2)ベクトルp=ベクトルv_1とベクトルp=ベクトルv_2の両方が条件(*)をみたすならば,座標平面上のすべてのベクトルベクトルvこ対して,ベクトルp=ベクトルvが条件(*)をみたすことを示せ.(3)座標平面上のすべてのベクトルベクトルvに対して,ベクトルp=ベクトルvが条件(*)をみたす.このような実数の組(a,b,c)をすべて求めよ.](./thumb/504/1063/2011_3.png)
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$a,\ b,\ c$を実数とする.ベクトル$\overrightarrow{v_1}=(3,\ 0),\ \overrightarrow{v_2}=(1,\ 2\sqrt{2})$をとり,$\overrightarrow{v_3}=a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}$とおく.座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$に対する条件
\[ (\ast) \qquad (\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える.ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が,実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを,$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ.
(2) $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(\ast)$をみたすならば,座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(\ast)$をみたすことを示せ.
(3) 座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(\ast)$をみたす.このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ.
(1) 座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が,実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを,$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ.
(2) $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(\ast)$をみたすならば,座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(\ast)$をみたすことを示せ.
(3) 座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して,$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(\ast)$をみたす.このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ.
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