平面上の相異なる3点O，A，Bに対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{q}=\frac{-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{4}$とする．また，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$であるような2点P，Qをとる．$|\overrightarrow{p}|=4,\ |\overrightarrow{q}|=1$であるとき，次の問いに答えよ．
(1) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2) 2点A，Bを通る直線と，2点P，Qを通る直線が直交するとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(3) $\triangle$OABの面積が最大になるとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$を求めよ．