点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$r$である円に内接する$\triangle \mathrm{ABC}$について，$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$に内分する点を$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1) $r$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて$|\overrightarrow{\mathrm{OA^\prime}}|^2$を表せ．
(2) $3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$を通る円の中心が点$\mathrm{O}$と一致するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であることを示せ．