秋田大学
2010年 医学部 第3問
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$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して$f_n(x)=(\log x)^n$とする．次の問いに答えよ．
(1) 方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2) $\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3) (2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．
(1) 方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2) $\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3) (2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．
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