静岡大学
2014年 理(物・化)・工・情報 第2問
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![a,b,c,d,s,tを実数とし,b≠0とする.A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})とし,B=(\begin{array}{rr}1&0\s&-1\end{array})は等式AB+BA=(a+d)Bを満たすとする.xの2次方程式x^2-(a+d)x+ad-bc=0は異なる2つの実数解α,βをもつとし,列ベクトルX=(\begin{array}{c}1\t\end{array})は等式AX=αXを満たすとする.このとき,次の問いに答えよ.(1)sを行列Aの成分を用いて表せ.(2)tをa,b,αを用いて表せ.(3)(\begin{array}{c}u\v\end{array})=BXとし,P=(\begin{array}{cc}1&u\t&v\end{array})とするとき,行列Pは逆行列をもち,AP=P(\begin{array}{cc}α&0\0&β\end{array})を満たすことを示せ.](./thumb/396/1403/2014_2.png)
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$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし,$b \neq 0$とする.$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし,$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする.$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし,列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $s$を行列$A$の成分を用いて表せ.
(2) $t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ.
(3) $\left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right)=BX$とし,$P=\left( \begin{array}{cc} 1 & u \\ t & v \end{array} \right)$とするとき,行列$P$は逆行列をもち, \[ AP=P \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right) \] を満たすことを示せ.
(1) $s$を行列$A$の成分を用いて表せ.
(2) $t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ.
(3) $\left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right)=BX$とし,$P=\left( \begin{array}{cc} 1 & u \\ t & v \end{array} \right)$とするとき,行列$P$は逆行列をもち, \[ AP=P \left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right) \] を満たすことを示せ.
類題(関連度順)
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