北九州市立大学
2015年 国際環境工 第2問
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![以下の問いの空欄[サ]~[ヌ]に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.(1)整式P(x)をx^2-1で割ると1余り,x^2+4x+4で割るとx+6余る.P(x)をx^2+x-2で割ったときの余りをax+bとする.このとき,定数a,bの値はa=[サ],b=[シ]となる.(2)点(1,2)に関して,円x^2+y^2-8x+10y+k=0と対称な円が原点を通るように定数kを定めると,k=[ス]となり,対称な円の中心は([セ],[ソ])となる.(3)sinθ-cosθ=1/2のとき,sin2θの値は[タ]となり,cos^3θ-sin^3θの値は[チ]となる.(4)3≦x≦81のとき,関数y=(log_3x)^2-log_3x^4+5の最大値と最小値を求めると,x=[ツ]のときに最大値[テ]をとり,x=[ト]のときに最小値[ナ]をとる.(5)数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nが,S_n=n^2+8nで表されるとき,初項a_1は[ニ]であり,一般項a_nは[ヌ]である.](./thumb/680/3135/2015_2.png)
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以下の問いの空欄$\fbox{サ}$~$\fbox{ヌ}$に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.
(1) 整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り,$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る.$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする.このとき,定数$a,\ b$の値は$a=\fbox{サ}$,$b=\fbox{シ}$となる.
(2) 点$(1,\ 2)$に関して,円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると,$k=\fbox{ス}$となり,対称な円の中心は$(\fbox{セ},\ \fbox{ソ})$となる.
(3) $\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,$\sin 2\theta$の値は$\fbox{タ}$となり,$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$\fbox{チ}$となる.
(4) $3 \leqq x \leqq 81$のとき,関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると,$x=\fbox{ツ}$のときに最大値$\fbox{テ}$をとり,$x=\fbox{ト}$のときに最小値$\fbox{ナ}$をとる.
(5) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,$S_n=n^2+8n$で表されるとき,初項$a_1$は$\fbox{ニ}$であり,一般項$a_n$は$\fbox{ヌ}$である.
(1) 整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り,$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る.$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする.このとき,定数$a,\ b$の値は$a=\fbox{サ}$,$b=\fbox{シ}$となる.
(2) 点$(1,\ 2)$に関して,円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると,$k=\fbox{ス}$となり,対称な円の中心は$(\fbox{セ},\ \fbox{ソ})$となる.
(3) $\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,$\sin 2\theta$の値は$\fbox{タ}$となり,$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$\fbox{チ}$となる.
(4) $3 \leqq x \leqq 81$のとき,関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると,$x=\fbox{ツ}$のときに最大値$\fbox{テ}$をとり,$x=\fbox{ト}$のときに最小値$\fbox{ナ}$をとる.
(5) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が,$S_n=n^2+8n$で表されるとき,初項$a_1$は$\fbox{ニ}$であり,一般項$a_n$は$\fbox{ヌ}$である.
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