上智大学
2014年 文(哲),総合(教育),外国語(ドイツ、ポルトガル) 第1問
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正三角形$\mathrm{ABC}$において,点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AD}$,点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{BE}$とする.$\triangle \mathrm{ABD}$の内心を$\mathrm{O}$とするとき,内接円$\mathrm{O}$の半径は$1$である.円$\mathrm{O}$と$3$辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BD}$との接点をそれぞれ$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$とする.
(1) $\mathrm{AE}=\fbox{ア}+\sqrt{\fbox{イ}}$である.
(2) $\mathrm{AF}=\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}}$である.
(3) $\mathrm{AO}=\sqrt{\fbox{オ}}+\sqrt{\fbox{カ}}$である.ただし,$\fbox{オ}<\fbox{カ}$とする.
(4) $\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{\fbox{キ}}+\sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}}$である.ただし,$\fbox{キ}<\fbox{ク}$とする.
(5) 円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は \[ \fbox{コ}+\sqrt{\fbox{サ}}+\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}\pi \] である.
(1) $\mathrm{AE}=\fbox{ア}+\sqrt{\fbox{イ}}$である.
(2) $\mathrm{AF}=\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}}$である.
(3) $\mathrm{AO}=\sqrt{\fbox{オ}}+\sqrt{\fbox{カ}}$である.ただし,$\fbox{オ}<\fbox{カ}$とする.
(4) $\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{\fbox{キ}}+\sqrt{\fbox{ク}}}{\fbox{ケ}}$である.ただし,$\fbox{キ}<\fbox{ク}$とする.
(5) 円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は \[ \fbox{コ}+\sqrt{\fbox{サ}}+\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}\pi \] である.
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