上智大学
2015年 理工学部 第2問
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![aを正の実数とし,関数f(x)=sinx+asin3xを考える.(1)a=2のとき,f(x)=[オ]sinx+[カ]sin^nx, ただし n=[キ]である.(2)x=π/2でf(x)が最大値をとるときのaの範囲は0<a≦\frac{[ク]}{[ケ]}である.(3)a>\frac{[ク]}{[ケ]}の範囲で,f(x)の最大値がもっとも小さくなるのはa=\frac{[コ]}{[サ]}のときである.このときf(x)の最大値は\frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}であり,最大値を与えるxに対して,sinx=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}である.](./thumb/220/158/2015_2.png)
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$a$を正の実数とし,関数$f(x)=\sin x+a \sin 3x$を考える.
(1) $a=2$のとき, \[ f(x)=\fbox{オ} \sin x+\fbox{カ} \sin^n x,\quad \text{ただし}n=\fbox{キ} \] である.
(2) $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で$f(x)$が最大値をとるときの$a$の範囲は$\displaystyle 0<a \leqq \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$である.
(3) $\displaystyle a>\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$の範囲で,$f(x)$の最大値がもっとも小さくなるのは$\displaystyle a=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$のときである.
このとき$f(x)$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}}$であり,最大値を与える$x$に対して,$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$である.
(1) $a=2$のとき, \[ f(x)=\fbox{オ} \sin x+\fbox{カ} \sin^n x,\quad \text{ただし}n=\fbox{キ} \] である.
(2) $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で$f(x)$が最大値をとるときの$a$の範囲は$\displaystyle 0<a \leqq \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$である.
(3) $\displaystyle a>\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$の範囲で,$f(x)$の最大値がもっとも小さくなるのは$\displaystyle a=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$のときである.
このとき$f(x)$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{シ}}}{\fbox{ス}}$であり,最大値を与える$x$に対して,$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{\fbox{セ}}}{\fbox{ソ}}$である.
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