東京医科歯科大学
2010年 理系 第2問
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座標空間において,$8$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{D}(0,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{E}(1,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{F}(1,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{G}(1,\ 1,\ 1)$をとり,この$8$点を頂点とする立方体を$Q$とする.また点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$と正の実数$t$に対し,$6$点$(x+t,\ y,\ z)$,$(x-t,\ y,\ z)$,$(x,\ y+t,\ z)$,$(x,\ y-t,\ z)$,$(x,\ y,\ z+t)$,$(x,\ y,\ z-t)$を頂点とする正八面体を$\alpha_t(\mathrm{P})$,その外部の領域を$\beta_t(\mathrm{P})$で表す.ただし,立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) $0 < t \leqq 1$のとき,$Q$と$\alpha_t(\mathrm{O})$の共通部分$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O})$の体積を$t$で表せ.
(2) $Q \cap \beta_1(\mathrm{O}) \cap \beta_1(\mathrm{D}) \cap \beta_1(\mathrm{E}) \cap \beta_1(\mathrm{F})$の体積を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{1}{2} < t \leqq 1$のとき,$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \alpha_t(\mathrm{A})$の体積を$t$で表せ.
(4) $t$が$0<t \leqq 1$の範囲で変化するとき,$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \beta_t(\mathrm{A}) \cap \beta_t(\mathrm{B}) \cap \beta_t(\mathrm{C})$の体積が最大となる$t$の値を求めよ.
(1) $0 < t \leqq 1$のとき,$Q$と$\alpha_t(\mathrm{O})$の共通部分$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O})$の体積を$t$で表せ.
(2) $Q \cap \beta_1(\mathrm{O}) \cap \beta_1(\mathrm{D}) \cap \beta_1(\mathrm{E}) \cap \beta_1(\mathrm{F})$の体積を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{1}{2} < t \leqq 1$のとき,$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \alpha_t(\mathrm{A})$の体積を$t$で表せ.
(4) $t$が$0<t \leqq 1$の範囲で変化するとき,$Q \cap \alpha_t(\mathrm{O}) \cap \beta_t(\mathrm{A}) \cap \beta_t(\mathrm{B}) \cap \beta_t(\mathrm{C})$の体積が最大となる$t$の値を求めよ.
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