愛媛大学
2014年 医学部 第5問
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![nは自然数,p_0,p_1,・・・,p_nはp_0>0,・・・,p_n>0かつp_0+p_1+・・・+p_n=1を満たす定数とする.ポイント0,1,2,・・・,n-1,nが,それぞれp_0,p_1,p_2,・・・,p_{n-1},p_nの確率で得られる試行Tを考える.試行Tを1回行って得られるポイントの期待値をaとし,A=[a]+1とする.ただし,実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す.競技者は,試行Tを下記の各設問のルールに従って何回か行う.(1)kを1≦k≦nを満たす整数とする.競技者は,試行Tを以下のルールに従って最大2回まで行う.\mon[①]試行Tを1回行い,もしポイントがk以上であれば2回目の試行を行わず,このポイントを賞金とする.\mon[②]1回目のポイントがk未満であれば2回目の試行Tを行う.このとき,1回目のポイントは無効とし,2回目のポイントを賞金とする.このとき賞金の期待値をb_kとする.b_kを求めよ.(2)(1)の期待値b_kはkがAのとき最大となることを示せ.(3)mを1≦m≦nを満たす整数とする.競技者は,試行Tを以下のルールに従って最大3回まで行う.\mon[①]試行Tを1回行い,もしポイントがm以上であれば2回目以降の試行を行わず,このポイントを賞金とする.\mon[②]1回目のポイントがm未満であれば2回目の試行Tを行う.2回目のポイントがA以上であれば3回目の試行を行わない.このとき,1回目のポイントは無効とし,2回目のポイントを賞金とする.\mon[③]2回目のポイントがA未満であれば3回目の試行Tを行う.このとき,1回目,2回目のポイントは無効とし,3回目のポイントを賞金とする.このとき賞金の期待値をc_mとする.c_mを求めよ.(4)(3)の期待値c_mはmがB=[b_A]+1のとき最大となり,c_B≧b_Aであることを示せ.ただし,b_Aは(1)で求めた期待値b_kのk=Aのときの値である.(5)n=5とし,試行Tとして,5枚の硬貨を同時に投げ,表の出た枚数をポイントとする試行を考える.また,b_k,c_mは上記で定義したものとする.(i)p_0,p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,aを求めよ.(ii)(1)のように最大2回試行を行う場合,b_kの最大値を求めよ.(iii)(3)のように最大3回試行を行う場合,c_mの最大値を求めよ.](./thumb/669/2872/2014_5.png)
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$n$は自然数,$p_0$,$p_1$,$\cdots$,$p_n$は$p_0>0$,$\cdots$,$p_n>0$かつ$p_0+p_1+\cdots+p_n=1$を満たす定数とする.ポイント$0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1,\ n$が,それぞれ$p_0,\ p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_{n-1},\ p_n$の確率で得られる試行$T$を考える.試行$T$を$1$回行って得られるポイントの期待値を$a$とし,$A=[a]+1$とする.ただし,実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す.競技者は,試行$T$を下記の各設問のルールに従って何回か行う.
(1) $k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする.競技者は,試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う.
[$\maruichi$] 試行$T$を$1$回行い,もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず,このポイントを賞金とする. [$\maruni$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う.このとき,$1$回目のポイントは無効とし,$2$回目のポイントを賞金とする.
このとき賞金の期待値を$b_k$とする.$b_k$を求めよ.
(2) $(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ.
(3) $m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする.競技者は,試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う.
[$\maruichi$] 試行$T$を$1$回行い,もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず,このポイントを賞金とする. [$\maruni$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う.$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない.このとき,$1$回目のポイントは無効とし,$2$回目のポイントを賞金とする. [$\marusan$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う.このとき,$1$回目,$2$回目のポイントは無効とし,$3$回目のポイントを賞金とする.
このとき賞金の期待値を$c_m$とする.$c_m$を求めよ.
(4) $(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり,$c_B \geqq b_A$であることを示せ.ただし,$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である.
(5) $n=5$とし,試行$T$として,$5$枚の硬貨を同時に投げ,表の出た枚数をポイントとする試行を考える.また,$b_k$,$c_m$は上記で定義したものとする.
(ⅰ) $p_0$,$p_1$,$p_2$,$p_3$,$p_4$,$p_5$,$a$を求めよ.
(ⅱ) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合,$b_k$の最大値を求めよ.
(ⅲ) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合,$c_m$の最大値を求めよ.
(1) $k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする.競技者は,試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う.
[$\maruichi$] 試行$T$を$1$回行い,もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず,このポイントを賞金とする. [$\maruni$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う.このとき,$1$回目のポイントは無効とし,$2$回目のポイントを賞金とする.
このとき賞金の期待値を$b_k$とする.$b_k$を求めよ.
(2) $(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ.
(3) $m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする.競技者は,試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う.
[$\maruichi$] 試行$T$を$1$回行い,もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず,このポイントを賞金とする. [$\maruni$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う.$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない.このとき,$1$回目のポイントは無効とし,$2$回目のポイントを賞金とする. [$\marusan$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う.このとき,$1$回目,$2$回目のポイントは無効とし,$3$回目のポイントを賞金とする.
このとき賞金の期待値を$c_m$とする.$c_m$を求めよ.
(4) $(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり,$c_B \geqq b_A$であることを示せ.ただし,$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である.
(5) $n=5$とし,試行$T$として,$5$枚の硬貨を同時に投げ,表の出た枚数をポイントとする試行を考える.また,$b_k$,$c_m$は上記で定義したものとする.
(ⅰ) $p_0$,$p_1$,$p_2$,$p_3$,$p_4$,$p_5$,$a$を求めよ.
(ⅱ) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合,$b_k$の最大値を求めよ.
(ⅲ) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合,$c_m$の最大値を求めよ.
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