獨協医科大学
2014年 医学部 第5問
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![関数f(x)=2x+cosxがある.xy平面上の曲線y=f(x)の0≦x≦π/2の部分をCとし,Cと直線y=2x,および直線x+2y=2で囲まれた領域をDとする.領域Dを直線y=2xの周りに1回転してできる立体の体積を求めよう.(プレビューでは図は省略します)C上の点P(t,f(t))から直線y=2xに下ろした垂線と直線y=2xとの交点をQとする.線分PQの長さは\frac{|cost|}{\sqrt{[ア]}}であり,点Qのx座標はt+\frac{[イ]}{[ウ]}costである.これから,OQ=sとおくとs=\sqrt{[エ]}(t+\frac{[イ]}{[ウ]}cost)である.f´(x)=2-sinx>0なのでf(x)は増加する.よって,求める体積VはV=∫_{\frac{2√5}{5}}^{\frac{√5π}{2}}πPQ^2ds=\frac{\sqrt{[オ]}π}{[カ]}∫_0^{π/2}(cos^2t-\frac{[キ]}{[ク]}cos^2tsint)dt=\frac{\sqrt{[ケ]}π^2}{[コサ]}-\frac{[シ]\sqrt{[ス]}π}{[セソ]}である.](./thumb/101/2273/2014_5.png)
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関数$f(x)=2x+\cos x$がある.$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし,$C$と直線$y=2x$,および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする.領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう.
\imgc{101_2273_2014_1}
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする.
線分$\mathrm{PQ}$の長さは \[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{\fbox{ア}}} \] であり,点$\mathrm{Q}$の$x$座標は \[ t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \] である.これから,$\mathrm{OQ}=s$とおくと \[ s=\sqrt{\fbox{エ}} \left( t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \right) \] である.
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する.よって,求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{オ}} \pi}{\fbox{カ}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{ケ}} \pi^2}{\fbox{コサ}}-\frac{\fbox{シ} \sqrt{\fbox{ス}} \pi}{\fbox{セソ}}$
である.
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする.
線分$\mathrm{PQ}$の長さは \[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{\fbox{ア}}} \] であり,点$\mathrm{Q}$の$x$座標は \[ t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \] である.これから,$\mathrm{OQ}=s$とおくと \[ s=\sqrt{\fbox{エ}} \left( t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \right) \] である.
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する.よって,求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{オ}} \pi}{\fbox{カ}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{ケ}} \pi^2}{\fbox{コサ}}-\frac{\fbox{シ} \sqrt{\fbox{ス}} \pi}{\fbox{セソ}}$
である.
類題(関連度順)
![](./thumb/59/2150/2016_4s.png)
![](./thumb/361/2221/2012_6s.png)
![](./thumb/677/1107/2011_1s.png)
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![](./thumb/412/2575/2015_3s.png)
コメント(2件)
![]() 作りました。誘導があるものの、題材自体は「座標軸ではない直線周りの回転体の体積」ということで少し難しいです。そういう意味でやや難としました。誘導がなくても解けるくらいに学習しておけば(手順をマスターしておけば)、このテーマは完璧です。難しめの国立大学の問題としてもたまに見かけます。 |
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